Dreisatz Aufgaben lösen – so geht’s
Der Dreisatz zählt zu den grundlegenden Werkzeugen der Mathematik. Doch auch im Alltag ist er hilfreich und nützlich. Wer zum Beispiel grob überschlagen will, wie lange etwas dauert oder wie teuer etwas ist, kann mit dem Dreisatz rechnen.
Sein Name erklärt sich damit, dass beim Lösen von Dreisatz Aufgaben in drei Schritten gerechnet wird. Was das genau bedeutet, erklären wir in diesem Beitrag:
Inhalt
Was ist der Dreisatz?
Der Dreisatz ist ein Verfahren, um Verhältnisaufgaben zu lösen. Dazu werden zwei Werte in ein Verhältnis zueinander gesetzt. Auf dieser Basis kann dann ein neues Verhältnis zwischen zwei anderen Werten aufgestellt werden.
So erklärt, klingt das Ganze ziemlich kompliziert. Wie wir gleich zeigen werden, ist es in Wahrheit aber recht einfach.
Um eine Dreisatz Aufgabe auszurechnen, werden drei Schritte durchgeführt. Und dieser Vorgehensweise verdankt das Verfahren auch seinen Namen.
Allerdings werden beim Dreisatz zwei Ansätze voneinander unterschieden, nämlich der proportionale und der antiproportionale Dreisatz. Welche Variante angewendet werden muss, hängt von der jeweiligen Aufgabe ab.
Der proportionale Dreisatz
Der proportionale Dreisatz wird auch gerader Dreisatz genannt. Er wird angewendet, wenn sich die Werte proportional zueinander verhalten.
Das bedeutet:
Die Werte vergrößern oder verkleinern sich im gleichen Verhältnis. Gibt es zwei Werte und wird ein Wert davon größer, wächst also auch der andere Wert. Verkleinert sich hingegen ein Wert, wird der zweite Wert ebenfalls kleiner.
Damit es verständlicher wird, schauen wir uns ein Beispiel an:
| Ein Buffet für 25 Personen kostet 400 Euro. Wie teuer wird es, wenn das Buffet für 35 Personen vorbereitet wird? |
Diese Aufgabe wird mit dem Dreisatz ausgerechnet. Dafür werden im ersten Schritt die Verhältnisse notiert, die sich aus der Aufgabenstellung ableiten lassen. In unserem Beispiel sind das folgende Gleichungen:
| Buffet für 25 Personen 400 Euro
Buffet für 35 Personen ? Euro |
Das Ist-Zeichen mit dem kleinen Dach darüber ist das sogenannte Verhältnissymbol. Es drückt aus, dass die beiden Werte in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Gelesen wird das Symbol als “entspricht”. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird es deshalb auch Entspricht-Zeichen genannt.
Um die Aufgabe lösen zu können, muss im zweiten Schritt ausgerechnet werden, wie teuer das Buffet pro Person ist.
Weil aus der Aufgabenstellung und durch die erste aufgestellte Gleichung bekannt ist, dass das Buffet bei 25 Personen 400 Euro kostet, können diese Kosten durch die Anzahl der Personen geteilt werden:
| Buffet für 25 Personen 400 Euro
Buffet für 25 Personen : 25 400 Euro : 25 Buffet für 1 Person 16 Euro |
Im dritten und letzten Schritt müssen noch die ermittelten Kosten pro Person mit der gesuchten Größe multipliziert werden. Da in der Aufgabe nach den Kosten für ein Buffet für 35 Personen gefragt wird, muss folglich mal 35 gerechnet werden:
| Buffet für 1 Person 16 Euro
Buffet für 1 Person x 35 16 Euro x 35 Buffet für 35 Personen 560 Euro |
Durch den letzten Rechenschritt zeigt sich, dass ein Buffet für 35 Personen 560 Euro kosten würde. Gleichzeitig ist damit auch die zweite Gleichung gelöst.
Zwischen den Größen besteht deshalb ein proportionaler Zusammenhang, weil die Kosten für das Buffet mit der Anzahl der Personen steigen.
Je mehr Personen verköstigt werden sollen, desto teurer wird es. Andersherum wären die Kosten niedriger, wenn es weniger Personen wären.
Der antiproportionale Dreisatz
Beim antiproportionalen Dreisatz, der auch ungerader Dreisatz genannt wird, verhalten sich die Werte umgekehrt proportional zueinander. Das bedeutet: Wird der eine Wert größer, verkleinert sich der andere Wert.
Anders als beim geraden Dreisatz ändern sich die Werte also nicht in die gleiche Richtung. Stattdessen entwickeln sie sich in die entgegen gesetzten Richtungen auseinander.
Auch hier zum besseren Verständnis wieder ein Beispiel:
| Um eine Wohnung zu renovieren, brauchen fünf Handwerker 18 Stunden. Wie viele Handwerker müssten eingesetzt werden, damit die Renovierungsarbeiten in 10 Stunden abgeschlossen sind? |
Bei dieser Aufgabe kommt wieder der Dreisatz zur Anwendung. Wie schon beim vorherigen Beispiel werden im ersten Schritt die bekannten Verhältnisse als Gleichungen notiert. Dabei besteht das erste Verhältnis aus den fünf Handwerkern und der Arbeitszeit von 18 Stunden. Das zweite Verhältnis bilden die gesuchte Anzahl an Handwerkern und die zehnstündige Arbeitszeit:
| 5 Handwerker 18 Stunden
? Handwerker 10 Stunden |
Das ausgerechnet werden soll, wie viele Handwerker notwendig sind, um die Renovierungsarbeiten in zehn Stunden abzuschließen, muss die obere Gleichung nach der Zeit aufgelöst werden. Dazu wird mit dem bekannten Wert von 18 Stunden gerechnet.
Die rechte Seite der Gleichung wird dabei durch 18 geteilt, um auf eine Stunde zu kommen. Auf der linken Seite der Gleichung muss die Anzahl der Handwerker mit 18 multipliziert werden.
Denn die Werte verhalten sich antiproportional zueinander. Je mehr Handwerker vor Ort sind, desto schneller sind die Arbeiten erledigt. Der zweite Rechenschritt sieht deshalb so aus:
| 5 Handwerker 18 Stunden
5 Handwerker x 18 18 Stunden : 18 90 Handwerker 1 Stunde |
Im dritten Schritt wird die Anzahl der Handwerker für die gesuchte Arbeitszeit von zehn Stunden ermittelt. Dafür wird die Handwerker-Anzahl durch zehn dividiert und die Stundenzahl mit zehn multipliziert:
| 90 Handwerker 1 Stunde
90 Handwerker : 10 1 Stunde x 10 9 Handwerker 10 Stunden |
Damit ist klar, dass neun Handwerker eingesetzt werden müssten, damit die Wohnung in zehn Stunden renoviert ist.
Bei dieser Aufgabe ist ein ungerader Dreisatz gegeben. Denn je mehr Handwerker arbeiten, desto kürzer ist die benötigte Zeit für die Renovierung. Andersherum dauern die Renovierungsarbeiten umso länger, je weniger Handwerker im Einsatz ist.
Übrigens: Je nachdem, mit welchen Zahlen gerechnet wird, kann es sein, dass keine ganze Zahl herauskommt. Handelt es sich bei der gesuchten Größe um Menschen, Tiere oder ganze Verpackungseinheiten wie Kartons, muss das Ergebnis aufgerundet werden.
Denn es ist nicht möglich, solche Größen als Dezimalzahl oder Bruch anzugeben. Es können also nicht zum Beispiel 1,8 Handwerker auf die Baustelle kommen. Hier müsste auf zwei Handwerker aufgerundet werden.
Dreisatz Aufgaben lösen – das Grundrezept
Anhand der beiden Beispielaufgaben zeigt sich, dass das Lösen von Dreisatz Aufgaben auf einem simplen Schema basiert. Es werden nämlich immer drei Schritte durchgeführt. Das Grundrezept lautet demnach:
-
den Zusammenhang zwischen den Werten aus der Aufgabenstellung ermitteln
-
die bekannten Verhältnisse als Gleichungen aufschreiben
-
die Gleichungen mathematisch auflösen, um die gesuchte Größe zu finden
Und das war auch schon das ganze Geheimnis hinter dem Dreisatz!
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