Tipps und Tricks für mathematische Anwendungen

Hilfreiche Erklärungen, Tipps und Tricks für typische mathematische Anwendungen  

Wer Schüler nach ihrem Lieblingsfach fragt, wird eher selten das Fach Mathematik als Antwort hören, denn viele Schüler tun sich sehr schwer mit Mathe. Dabei ist Mathematik eigentlich gar nicht so schwierig und vor allem logisch.

Wenn Schüler also einmal die grundlegenden Zusammenhänge verstanden haben, verliert die Mathematik recht schnell ihren Schrecken.

 

 

Das Problem ist allerdings, dass nur wenige Lehrer in der Lage zu sein scheinen, ihren Schülern die Logik der Mathematik einfach und verständlich zu erklären.

 

 

Die folgende Übersicht versucht daher, hilfreiche Erklärungen, Tipps und Tricks für einige typische mathematische Anwendungen an die Hand zu geben:  

 

Die Quadrate ganzer Zahlen bis 100

Zunächst einmal gilt für Quadratzahlen, dass als Endung nur die Zahlen 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 in Frage kommen. Das Quadrat einer ganzen Zahl endet somit nie mit 2, 3, 7 oder 8. Die Quadrate von Zehnerzahlen sind recht leicht auszurechnen, denn hierfür genügt das kleine 1 x 1.

So werden die beiden Zahlen vor der Null einfach miteinander multipliziert und anschließend zwei Nullen angehängt. 30 x 30 ist also 900, 50 x 50 ist 2500 und 80 x 80 ist 6400. Mit einem einfachen Trick lässt sich auch das Quadrat von Fünferzahlen ganz leicht ausrechnen.

Hierfür werden die beiden Zahlen, zwischen denen die Fünferzahl liegt, miteinander multipliziert und danach wird die 25 drangehängt. Die 25 wird deshalb drangehängt, weil die beiden Zahlen auf 5 enden und 5 x 5 ja 25 ist. Die 45 beispielsweise liegt genau in der Mitte zwischen 40 und 50. Um das Quadrat von 45 auszurechnen, wird nun 4 x 5 gerechnet und dann 25 angehängt. 45 x 45 ist also 2025.

Dieser Trick funktioniert mit allen Fünferzahlen, 15 liegt in der Mitte zwischen 10 und 20, also wird gerechnet 1 x 2, 25 hintenan und es ergibt sich 15 x 15 = 225. Bei 85 x 85 wird gerechnet 8 x 9, 25 dahinter und damit kommt raus, 85 x 85 = 7225. Um das Quadrat der Zahlen dazwischen auszurechnen, gibt es ebenfalls einen Trick. Hier wird von einem bekannten Quadrat aus gerechnet und zu dieser Quadratzahl wird die Summe aus der Zahl, die das Quadrat bildet, und der Zahl, die ermittelt werden soll, hinzugerechnet.

Soll beispielsweise das Quadrat von 61 ermittelt werden, wird zunächst 60 x 60 = 3600 gerechnet. Anschließend wird die Summe aus 60 und 61 gebildet und zu der errechneten Quadratzahl addiert. 61 x 61 ist somit 60 x 60 + 60 + 61 = 3600 + 121 = 3721. Bei 81 x 81 lautet der Rechenweg 80 x 80 + 80 + 81 = 6400 + 161 = 6561. Möglich ist der Rechenweg aber auch umgekehrt. 79 x 79 ist demnach 80 x 80 – 80 – 79 = 6400 – 159 = 6241.

Bei Zahlen, die weiter entfernt liegen, ist ein zusätzlicher Rechenschritt erforderlich. So wird bei 72 x 72 beispielsweise wie folgt gerechnet: 70 x 70 ist 4900. Da 72 zwei Zahlen von 70 entfernt liegt, wird der errechneten Quadratzahl die Summe aus 2x (70 + 72) hinzugefügt, also 4900 + 284 = 5184. 73 liegt 3 Zahlen von der 70 entfernt, also heißt der Rechenweg bei 73 x 73 = (70 x 70) + 3x (70 + 73) = 4900 + 429 = 5329.  

 

Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz wird auch Verteilungsgesetz genannt und lautet allgemein geschrieben a x (b + c). Diese Formel lässt sich in a x b + a x c umschreiben. In der allgemeinen Schreibweise ist es allerdings recht schwer, sich etwas darunter vorzustellen.

Anhand von einem Beispiel wird das Distributivgesetz dann schon deutlich verständlicher:

Im Frühling sollen die Blumenbeete neu bepflanzt werden. Das erste Blumenbeet wird in 5 Reihen aufgeteilt und in jede Reihe werden 4 Blumen gesetzt. Damit werden für dieses Blumenbeet 5 x 4 = 20 Blumen benötigt. Das zweite Blumenbeet wird ebenfalls in 5 Reihen aufgeteilt, aber weil es etwas kürzer ist, werden pro Reihe nur 3 Blumen gepflanzt.

Für das zweite Blumenbeet werden somit 5 x 3 = 15 Blumen benötigt. Übertragen auf das Distributivgesetz heißt das a x b + a x c = 5 x 4 + 5 x 3 = 35. Dies ist gleichbedeutend mit a x (b + c) = 5 x (4 + 3) = 35.  

 

 

Plus statt Minus rechnen

Während es nicht allzu schwierig ist, kleine Zahlen voneinander abzuziehen, fällt vielen Schülern das Minusrechnen bei sehr langen Zahlen recht schwer. Anstatt zu subtrahieren, ist es jedoch auch möglich, das Ergebnis per Addition zu ermitteln. Dazu wird das sogenannte Komplement gebildet und zu der Zahl, von der etwas abgezogen werden soll, hinzugerechnet.

Von der neu entstandenen Zahl wird anschließend die erste Zahl weggestrichen, dann wird eine 1 hinzugefügt und damit ist das Ergebnis vorhanden. Nach diesem Prinzip rechnen übrigens auch Computer und konkret funktioniert das Ganze wie folgt. Soll beispielsweise die Rechenaufgabe 98523 – 54121 gelöst werden, wird zunächst das Komplement von 54121 gebildet. Das Komplement entsteht, indem jede einzelne Ziffer der Zahl zu einer 9 ergänzt wird.

Um aus der 5 eine 9 zu machen, ist eine 4 erforderlich, die 4 wird durch eine 5 zur 9, die 1 muss um 8 ergänzt werden und so weiter. Das Komplement zur der Zahl 54121 lautet somit 45878. Dieses Komplement wird nun zu der Zahl, von der etwas abgezogen werden soll, hinzugerechnet, in diesem Beispiel also 98523 + 45878 = 144401. Jetzt wird die erste Ziffer der neu entstandenen Zahl weggestrichen und hinten eine 1 hinzugerechnet = 44402.

Damit ist die Aufgabe gelöst, denn 98523 – 54121 = 44402. Die Komplementbildung funktioniert natürlich genauso auch bei kleineren Zahlen. Hat ein Schüler beispielsweise noch 9,78 Euro und ein Frühstück in der Schule kostet 3,15 Euro, heißt das Komplement zu 315 684. Die 684 werden zu den 978 hinzugerechnet, was 1662 ergibt. Nach dem Wegstreichen der ersten Ziffer und dem Hinzurechnen von 1 kommt raus, dass der Schüler noch 6,63 Euro übrig hat, wenn er das Frühstück gekauft hat.   

 

Kreise berechnen

Im Zusammenhang mit Kreisen kommt der Wert Pi zur Anwendung, wobei Pi auch als  geschrieben und als die Kreiszahl bezeichnet wird. Nun ist Pi aber eine unendlich lange Zahl, die nicht bis auf alle Nachkommastellen genau angegebenen werden kann. Aus diesem Grund wird für Pi in der Schule meist lediglich mit dem Wert 3,14 oder 22/7 gerechnet.

Anders als vielfach angenommen, ist es recht einfach, den Beweis für Pi zu führen. Bei Kreisen ist das Verhältnis zwischen ihrem Umfang und ihrem Durchmesser nämlich immer gleich und genau dieses Verhältnis wird durch Pi beschrieben. Das bedeutet, wenn der Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser geteilt wird, kommt als Ergebnis die Kreiszahl Pi heraus.

Misst ein Schüler beispielsweise den Umfang und den Durchmesser seiner Tasse und dividiert er diese beiden Messwerte, erhält er Pi. Daraus folgt gleichzeitig, dass er den Umfang der Tasse ausrechnen kann, wenn er den Durchmesser kennt, denn der Umfang der Tasse entspricht dem Durchmesser mal Pi. Kennt er nur den Radius eines Kreises, kann er den Umfang ebenfalls ausrechnen, denn der Durchmesser d ist 2x der Radius r.

Daraus leitet sich die Formel ab: Umfang U = Pi d = 2 Pi r.

Um den Flächeninhalt A eines Kreises zu berechnen, wird Pi mit dem Radius im Quadrat multipliziert, A = Pi r2. Auch hier lässt sich der Beweis recht einfach führen, nämlich auf Basis eines Rechtecks.

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks auszurechnen, wird einfach die Länge mit der Breite multipliziert. Ein Rechteck, das 5cm lang und 4cm breit ist, hat also einen Flächeninhalt von 5cm x 4cm = 20cm2. Um dies auf den Kreis anwenden zu können, wird der Kreis auf ein Blatt Papier aufgezeichnet und mithilfe von Lineal oder Geodreieck und Bleistift in 16 gleichgroße Teile aufgeteilt. Diese 16 Teile werden nun ausgeschnitten. Anschließend werden 8 Teile mit den Bögen nach oben nebeneinander hingelegt und die übrigen 8 Teile mit den Bögen nach unten dazwischen angeordnet.

Dadurch ist ein Rechteck mit abgerundeten Kanten entstanden. Die Länge dieses Rechtecks entspricht dem halben Kreisumfang und damit Pi r. Die Breite des Rechtecks ist genauso groß wie Radius r. Das bedeutet, um den Flächeninhalt auszurechnen, wird Pi r mit r multipliziert. Anders geschrieben lautet die Formel A = Pi r2 und damit ist der Beweis für den Flächeninhalt eines Kreises erbracht.       

 

Rechtwinklige Dreiecke

Wenn es um rechtwinklige Dreiecke geht, lernen Schüler den Satz des Pythagoras. Dieser lautet a2 + b2 = c2. a und b bezeichnen die beiden kürzeren Seiten, die sogenannten Katheten des Dreiecks, c steht für die längste Seite, die Hypotenuse.

Die beiden kürzeren Seiten jeweils im Quadrat sind zusammen genauso lang wie die längste Seite ebenfalls im Quadrat. Bei einem Dreieck, bei dem die beiden kurzen Seiten 6cm und 8cm lang sind, ist die längste Seite somit 10cm lang, denn 62 + 82 = 36 + 64 = 100 und die Wurzel aus 100 ist 10. Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich aber nicht nur Dreiecke, sondern auch alltägliche Dinge berechnen. Ein Fernseher beispielsweise ist zwar ein Rechteck, die Größe wird aber mithilfe der Bildschirmdiagonale angegeben. Durch die Diagonale ist das Rechteck in zwei Dreiecke geteilt.

Die Angabe 4:3 bedeutet, dass das Verhältnis zwischen Länge und Höhe 4 : 3 beträgt, die vierfache Länge des Fernsehers entspricht also seiner dreifachen Höhe. Durch den Satz des Pythagoras lässt sich nun die Diagonale berechnen. 42 + 32 = 16 + 9 = 25 und daraus ergibt sich, dass die Diagonale 5 ergibt. Das Verhältnis zwischen Länge, Höhe und Diagonale beträgt also 4 : 3 : 5. Hat der Fernseher eine Diagonale von 125cm, folgt daraus, dass er 100cm lang und 75cm breit ist.

 

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